Álgebra lineal y programación linealImpreso
Con aplicaciones a ciencias administrativas, contables y financieras

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN
1. MATRICES
Introducción
Objetivos
1.1 Matrices
Matriz cuadrada
Igualdad de matrices
Matriz nula
Ejercicio 1.1
1.2 Operaciones entre matrices
Suma algebraica de matrices
Multiplicación de una matriz por un escalar
Inverso aditivo de una matriz
Símbolo de sumatoria o notación sigma
Propiedades de la sumatoria
Expresión abreviada de productos matriciales
Producto de matrices
Ejercicio 1.2
1.3 Propiedades de las operaciones entre matrices
Ejercicio 1.3
1.4 Tipos especiales de matrices
Diagonal principal
Matriz triangular superior
Matriz triangular inferior
Matriz triangular
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidad
Matrices que conmutan
Matriz idempotente
Matriz nilpotente
Ejercicio 1.4
1.5 Matriz traspuesta y propiedades de la traspuesta
Matriz simétrica y antisimétrica
Ejercicio 1.5
Ejercicios Complementarios
Cuestionario
1.6 Taller de Informática con uso de DERIVE
Creación de una matriz
Operaciones entre matrices
Multiplicación de una matriz por un escalar
Multiplicación de matrices
Definición de una matriz mediante fórmula
Utilización de la sumatoria
Traza de una matriz
Matriz identidad de orden n x n
Matriz traspuesta
1.7 Taller de informática con uso de Excel
Creación de una matriz
Operaciones entre matrices
Multiplicación de una matriz por un escalar
Multiplicación de matrices
Resumen Glosario

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Introducción
Objetivos
2.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables
Ejercicio 2.1
2.2 Sistemas de m ecuaciones lineales con n variables
Solución de un sistema de m ecuaciones con n variables
Sistemas consistentes e inconsistentes
Expresiones matriciales de un sistema de ecuaciones lineales
Sistemas equivalentes
Ejercicio 2.2
Método de eliminación de Gauss y Gauss-Jordan
Operaciones elementales entre filas
Matriz aumentada
Matriz escalonada
Matriz escalonada reducida
Método de Gauss
Método de Gauss-Jordan
Múltiples soluciones
Rango de una matriz
Estudio del tipo de solución de un sistema no homogéneo
Determinación del tipo de solución de un sistema de ecuaciones lineales
Ejercicio 2.3
2.4 Sistemas lineales homogéneos
Estudio del tipo de solución de un sistema homogéneo
Ejercicio 2.4
2.5 Matriz inversa
Procedimiento para hallar la inversa de una matriz A, aplicando el método de Gauss-Jordan
Inversa de una matriz 2 x 2
Solución de un sistema de ecuaciones utilizando la inversa de la inversa de la matriz de coeficientes
Propiedades de la matriz inversa
Relación entre inversas y sistemas de ecuaciones
Ejercicio 2.5
Ejercicios complementarios
Cuestionario
2.6 Taller de informática con uso de “DERIVE”
Operaciones elementales entre filas
Multiplicar una fila de una matriz por un escalar
Restar a la fila i de la matriz A, c veces la fila j de A
Rango de una matriz
Inversa de una matriz
2.7 Taller de informática con uso de “Excel”
Inversa de una matriz
Solución de un sistema de m ecuaciones lineales con m variables
Resumen
Glosario

3. DETERMINANTES
Introducción
Objetivos
Determinantes de orden 2×2 y 3×3
3.1 Determinantes de orden 3×3
Regla de Sarrus para calcular un determinante de orden 3 x 3
Ejercicio 3.1
3.2 Determinantes de orden n x n
Menor i,j
Cofactor i,j
Matriz de cofactores
Signos de los cofactores
Determinantes de orden n x n
Ejercicio 3.2
3.3 Propiedades de los determinantes
Ejercicio 3.3
3.4 Matriz Adjunta y matriz inversa
Propiedad de la matriz adjunta
Cálculo de la matriz inversa utilizando la adjunta
Matriz insumo producto de Leontief
Ejercicio 3.4
3.5 Regla de Cramer
Regla de Cramer para sistemas 2 x 2
Regla de Cramer para sistemas 3 x 3
Ejercicio 3.5
Ejercicios Complementarios
Cuestionario
3.6 Taller de Informática con uso de DERIVE
Cálculo de un determinante
Menor i , j de una matriz Mij
Cofactor i , j de una matriz. Cij
Matriz Adjunta. (adj (A))
3.7 Taller de informática con uso de Excel
Cálculo del determinante de una matriz cuadrada
Verificación de algunas propiedades de los determinantes
Solución de un sistema de m ecuaciones lineales con m variables utilizando la regla de Cramer
Resumen
Glosario

4. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
Introducción
Objetivos
4.1 Desigualdades lineales
Gráfica de una desigualdad lineal en dos variables
Recta vertical
Recta horizontal
Recta oblicua
Semiplano abierto
Semiplano cerrado
Desigualdades lineales simultáneas con dos variables
Propiedad de las desigualdades
Ejercicio 4.1
4.2 Problema estándar de Programación Lineal (PL) y Método Gráfico Modelo de Programación Lineal en forma general
Método gráfico
Región Factible
Punto de Esquina o Vértice de la Región Factible
Pasos para resolver un problema con Método Gráfico
Determinación de la Solución Óptima algebraicamente
Teorema de Programación Lineal
Otro método de solución
Problema de Mínimo con el Método Gráfico
Ejercicio 4.2
4.3 Problemas con Múltiples Soluciones No Acotados y Degenerados
CASO I. Soluciones óptimas-múltiples
CASO II. No Factibilidad
CASO III. No Acotamiento
Ejercicio 4.3
4.4 Taller de informática con uso de Excel
Problema de maximización
4.5 Taller de informática con uso de QSB
Problema de maximización
Problema de minimización
Resumen
Glosario

5. PLANTEAMIENTO DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Modelos de programación lineal
Introducción
Objetivos
5.1 Problema de la dieta
5.2 Problema del transporte
5.3 Problema de asignación
5.4 Problema del excursionista
5.5 Problema financiero
5.6 Planificación de personal
5.7 Problema de mercadotecnia
5.8 Problema de producción
5.9 Problema de mezclas
5.10 Proyecto de finanzas
5.11 Aplicaciones contables
Problemas propuestos
5.12 Taller de Informática con QSB
5.13 Taller de informática con uso de EXCEL

6. MÉTODO SIMPLEX
Introducción
Objetivos
6.1 Conceptos básicos del Método Simplex
Variable de holgura
Problema original sin variables de holgura
Problema de programación lineal con variables de holgura
Variables básicas y solución básica
Solución básica factible
6.2 Tabla simplex inicial
Columna pivote y fila pivote
Elemento pivote
Operaciones elementales entre filas
Finalización de las iteraciones en el método simplex
Interpretación de los resultados
6.3 Comparación del método simplex con el método gráfico
6.4 Restricciones con desigualdades del tipo mayor o igual
6.5 Solución de problemas de minimización con el método simplex Planteamiento del modelo
6.6 Casos especiales
Múltiples soluciones
Modelo de no factibilidad
No acotamiento
Ejercicios
6.7 Taller de Informática con uso de QSB
Resumen
Glosario

7. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD
Introducción
Objetivos
7.1 Análisis de sensibilidad con método gráfico
Cambios en un coeficiente de la función objetivo
Intervalo de optimalidad
Cambios en los términos independientes de una restricción (Lados derechos)
Precio sombra
Análisis de sensibilidad con el método simplex
Intervalo de optimalidad para variables básicas
Intervalo de optimalidad para variables no básicas
Cambios en el lado derecho de una restricción
Precio sombra
Método para calcular los intervalos de factibilidad
Método para restricciones menor o igual
Método para restricciones mayor o igual
El problema dual
Relación entre el primal y el dual
Forma general del problema dual
Forma estándar
Interpretación económica de las variables duales
Dual para el primal con cualquier tipo de restricción
Ejercicios
7.2 Taller de Informática con uso de QSB
Resumen
Glosario

8. TRANSPORTE, ASIGNACIÓN, TRANSBORDO Y PERT/CPM
Origen de la programación lineal
Introducción
Objetivos
8.1 Modelo de transporte
8.2 Modelo generalizado de transporte
Planteamiento de la función objetivo
Restricciones de oferta
Restricciones de demanda
Planteamiento del modelo de transporte
Método del cruce del arroyo
FASE 1
Índice de mejoramiento
Resumen
Mejoramiento de la solución pendiente
Resumen del problema
8.3 Modelo de transporte no equilibrado
8.4 Problema de asignación
Red de modelo de asignación del problema de proyectos de monografías
Planteamiento de la función objetivo
8.5 Modelo general de programación lineal para el problema de asignación
8.6 Método Húngaro
Pasos de método Húngaro
PASO I. Reducción de filas
PASO II. Reducción de columnas
Prueba de optimalidad
PASO III. Determinar si el problema es óptimo
PASO IV. Reducciones posteriores
PASO V. Solución óptima
Resumen del método Húngaro en un diagrama de flujo
8.7 Problema de transbordo
8.8 PERT/CPM
Tiempos próximos
Tiempo próximo de iniciación
Tiempos lejanos
Tiempo lejano de terminación
Holgura de una actividad
Ruta crítica
Cálculo de la ruta crítica
Ejercicios
8.9 Taller de informática con uso de “QSB”
Problema de transporte
Problema de asignación
Problema de PERT/CPM
Resumen
Glosario